第17章 几何当以作图至简者为上（2/2）

——t·h·萨福德，《数学教学》（波士顿，1907年），第19页

521. 若能获得顶尖学者的垂青，亲自协助扫清基础阶段的认知障碍，数学研习者的数量必将大幅增长。——奥古斯塔斯·德摩根，《数学的学习与困难》（芝加哥，1902年），前言。

若硕学鸿儒肯垂顾后学，助其破除初学之障，则研习数学者，必如川流之增，不可胜数。

——奥古斯塔斯·德摩根，《数学学习与困难》（芝加哥，1902年），前言

522. 精通数学教学者，若非完全缺乏实验演示能力，必能胜任其他自然科学的教学；而纯实验主义者往往错将科学本质理解为炫目的感官展示，而非严密的真理推演。——亚历山大·贝恩，《作为科学的教育》（纽约，1898年），第298页。

善教数学者，若具实验之能，则兼通格物诸科；然唯重实验之辈，常以科学为炫目感官之戏，而昧于严密推理之真髓。

——亚历山大·贝恩，《作为科学之教育》（纽约，1898年），第298页

523. 数学提供的习题具有无可比拟的梯度性与普适性：既能精准匹配学习者的水平，又始终保持智力价值。初学者的几何练习题往往蕴含着令古希腊几何学家激赏的巧思，而语法练习相较之下则显得刻板做作。可以断言：欧几里得和阿波罗尼乌斯会饶有兴趣地审视当今学生的几何习题，但其他学科的大师们断不会俯就关注入门教材。——艾萨克·托德亨特，《学科的冲突》（伦敦，1873年），第10-11页。

数学之习题，其阶次分明，适用广博，既能应学者之能，又不失智趣。初学几何之题，常含令古希腊几何大家称妙之巧思；较之于语法之习，刻板相形见绌。可断言：欧几里得、阿波罗尼乌斯若见今世学子之几何题，必欣然观之；然他学宗师，鲜有垂注入门之书者。

——艾萨克·托德亨特，《学科的冲突》（伦敦，1873年），第10 - 11页

524. 用于阐释原理的直观图形应尽可能简洁纯粹，不含多余元素。图形需为纯粹的量的表征，如此一来，学生的思维才不会被分散，且能明确知晓所呈现内容中需关注的特征。

——十人委员会关于中等学校学科的报告（纽约，1894年），第109页

夫释理之图，当去其繁饰，务令简纯。必为纯然量之形，使童子之思不惑，知所观之要。

——十人委员会论中学学科报告（纽约，1894年），第109页

525. 几何推理与算术运算各有其职能：若在基础教学中混淆二者，将不利于对两者的正确掌握。

——德摩根《三角学与双重代数》（伦敦，1849年），第92页

几何之推理，算术之运算，各有其用。若于蒙学混而教之，两科皆难致精。

——德摩根《三角学与双重代数》（伦敦，1849年），第92页

526. 方程是算术计算的表达形式，本不应在几何中占据位置，除非涉及真正几何意义上的量（即线段、平面、立体及比例关系）之间的相等关系。乘法、除法等计算方式被引入几何领域尚属新近之事，且这种引入欠妥，违背了这门科学的初衷。但凡研究过早期几何学家借助直线和圆解决问题的思路便会发现：几何的创立正是为了通过图形绘制，避免繁琐的算术计算。因此，这两门学科不应混淆。古人曾悉心将二者区分，从不在几何中使用算术术语。而现代人混淆两者，致使几何丧失了其本应具备的简洁之美——这种简洁正是几何魅力的核心。从算术角度看，由更简单的方程得出的解更为简洁；但从几何角度看，借助更简单的作图步骤得出的解才更具几何简洁性。在几何中，最值得推崇的应当是几何意义上最简洁的解法。

——牛顿《论方程的线性构建；普遍算术》（伦敦，1769年），第二卷，第470页

方程者，算术之式也，本不当入几何，唯几何量（线、面、体及比例）相等时可用。乘除诸算，近世始入几何，然非审慎，违此学之初衷。观古几何家以规尺解算，可知几何之作，正为省算之繁。是故两学不可相杂。古人辨之甚明，未尝以算术语入几何。近人混之，遂失几何简素之美，此乃其雅趣之本也。算术之简，在方程式简；几何之简，在作图法简。几何中，当以作图至简者为上。

——牛顿《论方程直线构法·普遍算术》（伦敦，1769年），第二卷，第470页

527. 当代数与几何分道扬镳时，各自发展缓慢且应用受限。但当这两门科学结合后，彼此汲取新生力量，自此便以迅猛之势迈向完善之境。

——拉格朗日《数学基础教程》，第五讲 [麦科马克译本]

代数、几何异途时，其进也缓，其用也狭。及两学相合，互济生机，乃疾驰趋于完善。

——拉格朗日《数学基础讲义》第五讲 [麦科马克译]