第17章 几何当以作图至简者为上（1/2）

513. 普鲁士的数学教育！啊，先生，他们教授数学就像你们英国训练少年划船：由世代传承的导师体系培养——现在的教师，其师承可追溯至数代之前的专业训练者。——E··兰利，摘自佩里《数学教学》（伦敦，1904年），第43页。

或言：“普鲁士之数学教谕，犹如英伦训童操舟之法！其师者代代相承，今之执教者，溯其渊源，可及数世之前专擅此道者。”

——E··兰利，摘自佩里《数学教学》（伦敦，1904年），第43页

514. 对数学的肤浅认知可能导致人们认为这门学科可以附带教学，误以为数花瓣或蚱蜢腿之类的活动就是数学。此类教学忽视了量化推理的根基——量的相等性，使学生无法理解数学科学的本质——相对性。自然学科研究虽常需数字陈述，但若仅将其作为数字练习重复，既难为这些学科增色，更不可能形成真正的数学认知。——w·w·斯皮尔，《初级算术》（波士顿，1897年），第26-27页。

浅识数学者，或谓此学可兼而授之，且以数花瓣、计蚱足之戏为数学。然此等教法，弃量化推理之本——量之等齐，致学者不识数学之要——相对之理。夫格物之学，虽常借数字以明，若仅作算术之习，则于格物无益，亦难成真知灼见。

——w·w·斯皮尔，《初级算术》（波士顿，1897年），第26-27页

515. 数学绝非仅是计算之术，正如建筑不等于制砖伐木，绘画不等于调色板混色，地质学不等于敲碎岩石，解剖学不等于屠宰牲畜。——c·J·凯泽，《科学、哲学与艺术讲座》（纽约，1908年），第29页。

数学非止于筹算之技，犹筑室非仅垒砖伐木，绘事非独调彩混色，地质非唯击石碎岩，解剖非止于宰割牲体也。

——c·J·凯泽，《科学、哲学与艺术讲座》（纽约，1908年），第29页

516. 数学研究——从普通运算到高阶过程——必须与自然认知结合，同时联系实际经验，方能融入学生的思维领域。——J·F·赫巴特，《教育书信与演讲》[费尔金编]（伦敦，1908年），第117页。

研数学者，自寻常算法至高深之术，必合自然之识，联乎实历，方能入学者之心智。

——J·F·赫巴特，《教育书信与演讲》[费尔金编]（伦敦，1908年），第117页

517. 首先论及数学教学的成效：中学课程中数学教学最为艰难，因多数学生最初对逻辑推论的严格框架抱有强烈抵触。若以感官对象为起点，逐步过渡到抽象表述，则更易激发青年兴趣——从心理学角度看这完全正确。

若探究数学教学的根本目的，此法同样可取。过去人们过分强调其目的是锻炼思维，但同等重要的是使学生确信：基于真实前提的正确思考能驾驭外部世界。要实现这点，教学从一开始就必须关注现实世界。

但需警惕潜在风险：犹如现代语言教学在重视文本理解时，可能完全抛弃语法导致学科失去根基。数学教学若过度堆砌趣味应用而削弱核心逻辑发展，将丧失学科精髓。因此：我们确实需要全面激活数学教学的应用维度，但不应让钟摆从过去几十年过度抽象的一端，猛烈摆向另一个极端；我们追求的始终是恰当的中庸之道。——菲利克斯·克莱因，《高等学校的数学教学》；《德国数学家协会年报》第11卷，第131页。

先论数学教谕之效：中学诸科，数术最难。盖学子初涉，多厌逻辑之严。若以感官可察之物启之，渐入抽象之境，则易兴其趣，此乃合于心理之道。

若究数学教学之本旨，此法亦善。往者过重炼思之效，然令学者深信：本于实据之正思，可驭外物，其功亦伟。欲达此境，教学当始于观物察世。

然须防其偏：犹今世语文学，重文义而废语法，则失其根；数学若溺于趣用，而损逻辑之基，则丧其髓。故曰：数学之用，固当广兴，然不可使昔年过尚抽象之弊，骤趋另一极端。唯执中守正，方得善教之道。

——菲利克斯·克莱因，《高等学校的数学教学》；《德国数学家协会年报》第11卷，第131页

518. 教科书的首要职责是顺应学生的理解力，随着其想象力、逻辑能力和抽象思维的逐步发展而激发更高层次的思考——这恰恰是教学艺术的试金石，也是教育智慧彰显之处。关于公理体系需格外谨慎：应较早说明数学形体与物质形体的本质区别；同时阐明数学形体实为空间的组成部分，必须明确区分数学空间与现实物理空间。学生将逐渐意识到：可见宇宙之外的现实空间无法通过感官认知，其性质无从知晓，故无法判断；而数学空间可人为设定条件（如限定无限远处的性质），这些条件即构成欧几里得公理等基础。但学生往往需要多年才能真正领悟这一论断的深刻性。——古斯塔夫·霍尔兹穆勒，《初等数学系统教程》（莱比锡，1904年），第1部序言，第4-5页。

夫教科书之要务，在于顺乎学者之智，随其想象、逻辑、抽象之能渐长，以启高深之思。此乃教学之妙诣，亦教育睿智之所显也。论及公理之学，尤当审慎：宜早辨数学形体与物质形体之异，明数学形体实乃空间之属；且须详析数学空间与物理空间之别。学者渐悟：感官所不达之宇宙外域，其性难知，故不可臆断；而数学空间，可设其界（如定无穷之性），此即欧几里得公理之基也。然学者欲彻悟此理，常需数载之功。

——古斯塔夫·霍尔兹穆勒，《初等数学系统教程》（莱比锡，1904年），第1部序言，第4 - 5页

519. 与几乎所有人类感兴趣的领域相同，数学的难易完全取决于我们的教学方式。哲学家可能穷尽一生辩论最简单公理的真理性，而苏格兰农夫却能从令思辨哲学家畏惧的教义中构建实用的信仰体系。十岁孩童可研习微分法，十九岁的聪慧青年却可能仍难以理解微积分的基本概念。——约翰·佩里，《数学教学》（伦敦，1902年），第19-20页。

数学之难易，如世间诸学，皆系于教法。哲者穷其一生，或辩至简公理之真伪；而苏格兰农夫，竟能据玄奥教义，立实用之信仰。十岁童子，可探微分之法；十九龄俊才，犹未达微分之本。

——约翰·佩里，《数学教学》（伦敦，1902年），第19 - 20页

520. 拙劣的教学会使人误以为数学只适合特殊天赋者，实则这是最普世的科学——其四大基本法则在婴孩时期就已启蒙，最终在宇宙运行规律中重现。——t·h·萨福德，《数学教学》（波士顿，1907年），第19页。

教法拙劣，则人谓数学独属天赋异禀者，实则此乃至广至普之学也。其四则之法，始于孩提，终现于天地运行之理。

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