第88章 舒伯特计数、拓扑学、由全等多面体构建空间等问题（2/2）

除了这个纯代数问题，我还想提出另一个问题。在我看来，这个问题可通过“系数连续变分”这一相同方法来研究，其答案对于由微分方程定义的曲线族的拓扑学也具有同等重要的价值。该问题是：对于如下形式的一阶一次微分方程，庞加莱边界环的最大数量及位置如何？

（略）

其中p和q是x与y的n次有理整函数。若写成齐次形式，则该方程为：

（略）

其中x、Y、Z是x、y、z的n次有理齐次函数，且需将后者（指x、Y、Z）确定为参数（略）的函数。

17. 用平方和表示定型

若一个含任意多个变量、系数为实数的有理整函数（或型），对变量的所有实数值都不取负值，则称该函数（或型）为“定型”。所有定型构成的集合，在加法和乘法运算下具有不变性；此外，两个定型的商——若该商恰好是变量的整函数——也仍是一个定型。显然，任意型的平方都必然是定型。但正如我已证明的[38]，并非所有定型都能通过型的平方相加得到，因此引出这样一个问题：是否每个定型都能表示为“型的平方和”的商？我已对三元定型给出了肯定答案[39]。同时，对于某些关于“特定几何构造是否可行”的问题而言，还需明确一点：在表示定型时，所用型的系数是否总能从“被表示定型的系数所确定的有理域”中选取[40]？

我再补充一个几何问题:

18. 由全等多面体构建空间

当我们探究平面中“存在基本区域的运动群”时，会得到不同的答案——具体结果取决于所考虑的平面是黎曼（椭圆）平面、欧几里得平面，还是罗巴切夫斯基（双曲）平面。

在椭圆平面的情形下，本质不同的基本区域类型仅有有限种，且只需有限个全等区域就能完全覆盖整个平面；实际上，这类运动群仅包含有限个运动。在双曲平面的情形下，本质不同的基本区域类型有无限种，即着名的庞加莱多边形；要完全覆盖平面，需要无限个全等区域。欧几里得平面的情形则介于两者之间：一方面，存在基本区域的本质不同的运动群类型仅有有限种；另一方面，要完全覆盖整个平面，仍需无限个全等区域。

在三维空间中，存在完全对应的情况。椭圆空间中运动群的有限性，是c.若尔当一个基本定理[41]的直接推论——该定理指出，n个变量的线性代换所构成的本质不同的有限群类型数量，不会超过一个由n决定的有限界限。弗里克与克莱因在关于自守函数理论的讲义中[42]，研究了双曲空间中“存在基本区域的运动群”；最终，费多罗夫[43]、舍恩弗利斯[44]，以及近期的罗恩[45]均已证明：在欧几里得空间中，“存在基本区域的本质不同的运动群类型”仅有有限种。

然而，适用于椭圆空间与双曲空间的结论及证明方法，虽可直接推广到n维空间，但将欧几里得空间的上述定理推广到n维情形，似乎面临极大困难。因此，探究下述问题十分必要：在n维欧几里得空间中，“存在基本区域的本质不同的运动群类型”是否也仅有有限种？