第89章 一般边值问题、自守函数、变分法等问题（1/2）

显然，每个运动群的基本区域，与其经该群变换得到的全等区域共同作用，可完全填满空间。由此引出一个问题：是否存在这样的多面体——它们并非运动群的基本区域，但通过适当拼接其全等副本，仍能完全填满整个空间？

我还想指出一个与上述问题相关、对於数论具有重要意义，且可能对物理与化学有实际用途的问题：如何将无限多个给定形状的全等立体（例如给定半径的球体、给定棱长的正四面体，或处于指定位置的立体）在空间中最密堆积？即如何拼接这些立体，使得被填满空间与未被填满空间的比值尽可能大？

若回顾上世纪函数理论的发展，我们会发现，被我们如今称为“解析函数”的这类函数具有根本性的重要地位——这类函数或许将永远处于数学研究的核心领域。

在所有可想象的函数中，我们可从多个不同角度选出范围广泛、值得深入研究的函数类。例如，考虑由常微分方程或偏微分方程所刻画的函数类。但需注意，这类函数并不包含数论中产生的、极具研究价值的函数。以之前提及的函数（原文未明确函数符号，此处按上下文保留“函数”表述）为例：借助该函数与（原文未明确符号，此处按上下文保留“与”后的留白）之间的已知关系，再结合霍尔德（holder）已证明的“函数（原文未明确函数符号，此处按上下文保留“函数”表述）不满足任何代数微分方程”这一定理[46]，可轻易看出，上述函数（原文未明确函数符号，此处按上下文保留“上述函数”表述）也不满足任何代数微分方程。再如，由无穷级数（原文未写出级数具体形式，此处按上下文保留空白）定义的二元函数（自变量为（原文未明确变量符号，此处按上下文保留“自变量为”后的留白）与（原文未明确变量符号，此处按上下文保留“与”后的留白）），虽与函数（原文未明确函数符号，此处按上下文保留“函数”表述）关系密切，但它或许也不满足任何代数偏微分方程。要探究这一问题，需用到函数方程（原文未写出方程具体形式，此处按上下文保留空白）。

另一方面，若因算术或几何方面的原因，我们不得不考虑“所有连续且无限可微的函数”构成的类，那么在研究这类函数时，我们将无法借助“幂级数”这一灵活工具，也无法利用“函数在任意小区域内的取值即可完全确定整个函数”这一特性。因此，前一种函数类的范围过窄，而后一种（即所有连续且无限可微的函数类）在我看来又过于宽泛。

另一方面，解析函数的概念涵盖了所有对科学而言至关重要的函数——无论这些函数源自数论、微分方程理论、代数函数方程理论，还是产生于几何学或数学物理学领域。因此，在整个函数领域中，解析函数当之无愧地占据着无可争议的核心地位。

[41]《克雷尔杂志》（crelles Journal），第84卷（1878年）；以及《那不勒斯皇家科学院院报》（Atti d. Reale Acad. di Napoli），1880年。

[42]（相关着作）莱比锡，1897年。尤其参见第一部分（Absitt I），第二章与第三章（chaplets 2 and 3，注：“chaplets”应为“Kapitel”的拼写误差，意为“章节”）。

[43]《图形正规系统的对称性》（Sytrie der regel?ssigen Syste von Figuren），1890年。

[44]《晶体系统与晶体结构》（Krystallsyste und Krystallstruktur），莱比锡，1891年。

[45]《数学年刊》（ath. Annalen），第53卷。

[46]《数学年刊》（ath. Annalen），第28卷。

19. 变分法正则问题的解是否必然解析？

在解析函数理论的基础内容中，最值得关注的事实之一在我看来是：存在这样一类偏微分方程，其所有积分必然是自变量的解析函数——简而言之，这类方程仅存在解析解。此类方程中最知名的包括位势方程（原文未写出方程具体形式，此处按上下文保留“位势方程”表述），以及皮卡（picard）研究过的某些线性微分方程[47]；此外还有极小曲面的偏微分方程（原文未写出方程具体形式，此处按上下文保留“极小曲面的偏微分方程”表述）等。

这类偏微分方程大多有一个共同特征：它们是某些变分问题的拉格朗日微分方程，即针对如下形式的变分问题（原文未写出变分问题具体形式，此处按上下文保留“如下形式的变分问题”表述）：在讨论范围内的所有自变量取值下，均满足不等式（原文未写出不等式具体形式，此处按上下文保留“不等式”表述），其中（原文未明确符号，此处按上下文保留“其中”后的留白）本身是解析函数。我们将这类问题称为“正则变分问题”。

在几何学、力学与数学物理学中，发挥作用的主要正是这类正则变分问题。由此自然引出一个问题：正则变分问题的所有解是否必然是解析函数？换句话说，正则变分问题的拉格朗日偏微分方程是否都具有“仅存在解析积分”的性质？即便像位势函数的狄利克雷问题那样，要求函数满足的边界值是连续但非解析的，情况是否依然如此？

我还可补充一点：存在高斯曲率恒为负的曲面，其可由“连续且具有各阶导数，但非解析”的函数表示；另一方面，高斯曲率恒为正的曲面则很可能必然是解析曲面。我们知道，正曲率常曲面与下述正则变分问题密切相关：在空间中给定一条闭曲线，求一张极小面积曲面，使其与“通过同一条闭曲线的某张固定曲面”共同围成一个给定体积。

[47]《巴黎综合工科学校杂志》（Jour. de lEle polytech.），1890年。

20. 一般边值问题

与上述问题密切相关的一个重要问题是：当区域边界上的函数值给定时，偏微分方程解的存在性问题。h.A.施瓦茨（h. A. Schwarz）、c.诺伊曼（euann）与庞加莱（pocaré）借助精巧的方法，已基本解决了位势方程的这一问题。

然而，这些方法通常难以直接推广到以下情形：边界上给定的不是函数值，而是“函数的导数值”，或“导数值与函数值之间的某种关系”。它们也无法直接推广到“所求曲面并非位势曲面，而是需通过某条给定扭曲线或覆盖某张给定环形曲面的极小面积曲面、正曲率常曲面等”的情形。

我确信，可借助一个由狄利克雷原理指明本质的一般原理，证明这些存在性定理。进而，这一一般原理或许能帮助我们探讨如下问题：若满足关于给定边界条件的某些假设（例如，边界条件中涉及的函数连续，且在某些截面上具有一阶或多阶导数），且必要时对“解的定义”进行适当推广，那么是否每个正则变分问题都存在解[48]？

[48]参见我在《德国数学会年度报告》（Jahresber. d. deuts ath.-Vereigung）第8卷（1900年）第184页发表的关于狄利克雷原理的演讲。

21. 具有给定单值群的线性微分方程的存在性证明

在单自变量（原文未明确变量符号，此处按上下文保留“单自变量”表述）的线性微分方程理论中，我想指出一个重要问题——黎曼（Rieann）本人很可能也曾关注过这个问题。该问题如下：证明总存在一个富克斯型（Fuchsian css）线性微分方程，使其具有给定的奇点和单值群（onodroic group）[第35页]。

这个问题要求构造个（原文未明确数量符号，此处按上下文保留“个”表述）关于变量（原文未明确变量符号，此处按上下文保留“变量”表述）的函数，需满足以下条件：

1. 这些函数在复（原文未明确变量符号，此处按上下文保留“复”后的留白）平面上，除给定的奇点外均解析；

2. 在这些奇点处，函数最多仅具有有限阶极点；

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