第59章 于他学之助益，未可限量（1/2）

1639.严格来讲，数论本身与负数、分数、无理数无关。任何必须借助这些概念表述的定理，都非纯粹数论命题；任何本质依赖外部分析理论的数论定理证明，都不能称为最终完备的证明。

——G. b. 马修斯

《数论》（剑桥，1892 年），第一部分，第 1 节

若严论之，数论本与负数、分数、无理数无涉。凡定理需借此类概念以述者，非纯数论命题；凡数论定理之证，其本质依赖外部分析理论者，不得谓为终极完证。

——G.b.马修斯《数论》（剑桥，1892年），第一部分，第1节

1640.许多数学科学领域的伟大大师，最初都是被与数字相关的问题吸引而踏上数学探究之路的。只要瞥一眼如今那些刊载着待解问题的期刊，就不难发现这类数字问题至今仍散发着独特的魅力。人类似乎天生就对数字怀有兴趣，可惜在我们国家，这种兴趣未能得到更自由的施展空间。数论的方法具有其独特性，对于那些多年来习惯了研究连续量理论（其处理方式截然不同）的学生而言，这些方法并不容易掌握。因此，将数论的部分内容纳入我国大学的常规数学教学课程是极为可取的。自1801年高斯在其卓越的论着中确立了数论的真正研究方向后，数论便迎来了新的发展纪元。而且，若不了解高斯赋予数论的原理与概念，任何人都难以在该学科的任何领域做出有价值的研究。

——J. w. L. 格莱舍

（英国科学促进会主席致辞，1890年；《自然》杂志，第42卷，第467页）

夫数学诸领域之巨匠，初多为数字相关问题所引，遂启探究之途。今观载有未解之题之期刊，此类数字问题仍具殊韵，可见人类于数字似有天性之好。惜乎吾国之中，此趣未得畅展。数论之法自有其异，于惯研连续量理论（其术大异）之生徒而言，殊难通晓。是以将数论部分内容纳入大学常规数学课，实为允当。自1801年高斯于其宏论中立数论正途，此学乃开新纪。且若不谙高斯所赋数论之原理概念，无人能于该领域致有价值之研也。

——J. w. L. 格莱舍（英科学促进会主席致辞，1890年；《自然》杂志，第四十二卷，第四百六十七页）

1641.让我们暂且关注这样一个事实的普遍意义：计算工具确实存在，它们能帮数学家从数值计算的纯机械性工作中解脱出来，而且完成工作的速度更快、精度更高，因为机器不会像人类计算者那样出现疏漏。这类机器的存在证明了计算并不关乎数字的意义，而本质上只涉及运算的形式法则——因为机器只能遵循这些法则（其构造使然），而对数字意义的直觉感知则完全无从谈起。

——F. 克莱因（《高观点下的初等数学》，莱比锡，1908年，第一卷，第53页）

且观一事之普遍义：计算之器实存，可使数学家脱于数值计算之机械劳作，且速更疾、精度更确，以机器无人类计算者之失也。此类器械之存，足证计算非关数字之意，而本在运算之形式法则——以机器唯循此法则（其构造使然），于数字之意则全无所觉故也。

——F. 克莱因

（《高观点下之初等数学》，莱比锡，1908年，第一卷，第五十三页）

1642.数学是科学的女王，而算术是数学的女王。她时常屈尊为天文学及其他自然科学提供帮助，但在所有的学科关系中，她都理应占据首位。

——高斯

（萨托里乌斯·冯·瓦尔特豪森：《纪念高斯》，莱比锡，1866年，第79页）

数学者，科学之女王也；算术者，数学之女王也。其常屈尊助天文学及他自然科学，然于诸学科之属，固当居首。

——高斯

（萨托里乌斯·冯·瓦尔特豪森：《纪念高斯》，莱比锡，1866年，第七十九页）

1643.一位求知若渴的青年来到阿基米德面前，

对他说：“请将我引入这神圣的学问之中，

它为天文学提供了如此卓越的服务，

还在天王星之外发现了新的行星。”

智者回应道：“你称这门学问为神圣？它的确如此，

但早在它探索宇宙之前，它就已神圣，

早在它为天文学提供卓越服务之前，

早在它在天王星之外发现新行星之前。

你在宇宙中所见到的，只是神圣的倒影，

永恒的数字才在奥林匹斯众神之列中宝座高踞。”

——c. G. J. 雅可比

（《数学杂志》，第101卷，1887年，第338页）

有求知青年见阿基米德，曰：“愿引入此神圣之学，其为天文供卓越之助，更于天王星外得新星。”智者答曰：“子谓此学神圣？诚然。然其探宇宙之前已神圣，为天文供卓越之助之前已神圣，于天王星外得新星之前已神圣。子于宇宙所见，乃神圣之倒影，永恒之数方居奥林匹斯众神之列，高踞宝座也。”

——c. G. J. 雅可比

（《数学杂志》，第一百零一卷，1887年，第三百三十八页）

1644.高等算术为我们呈现了无穷无尽的有趣真理——这些真理并非孤立存在，而是存在紧密的内在联系。随着我们知识的增长，我们不断在其中发现新的、有时甚至是完全意想不到的关联。其理论的一大部分还因其独特性而更添魅力：那些带有简洁特征的重要命题，往往通过归纳法就能轻易发现，但其本质却极为深奥，以至于我们常常在多次徒劳尝试后才能找到证明方法；即便成功证明，也往往要借助繁琐且非自然的过程，而更简单的方法可能长期不为人知。

——c. F. 高斯

（为艾森斯坦《数学论文集》撰写的序言，柏林，1847年，[h. J. S. 史密斯]）

高等算术示吾辈无穷趣味之真理，非孤立而实具内在密联。吾辈知识愈增，常于其中得新且偶或意外之关联。其理论大半更以独特为魅：夫具简洁之征之要题，每以归纳法易见，然其本质深奥，吾辈常数试徒劳方得证法；即得证，亦多藉繁琐非自然之术，而简易之法或久隐不显。

——c. F. 高斯

（为艾森斯坦《数学论文集》作序，柏林，1847年，[h. J. S. 史密斯]）

=1645.=[数论]已获得数学家们越来越多的关注，其重要性与日俱增。它的成果数量之多、意义之重，论证之精准严密，方法之多样，以及时常揭示出看似孤立的真理之间的内在联系，还有它在分析学其他领域的众多应用，都同样令人瞩目。

——h.J.S.史密斯

（《数论报告》，英国科学促进会，1859年；《数学论文集》第1卷，第38页）

数论之学，益为数学家所重，其势日增。盖其成果之繁与要，论证之精与严，方法之众，偶揭看似孤立之理间之深契，及于分析学他域之多效，皆足称奇。

——斯密司（h.J.S.）

《数论考》，英学会，咸丰九年；《算学文钞》卷一，三十八页

=1646.=[高斯发明的同余符号“≡”]是一个显着例证，表明恰当的符号表示能带来诸多益处，也标志着算术科学发展的一个重要里程碑。

——G.b.马修斯

（《数论》，剑桥，1892年，第一部分，第29节）

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