第18章 唯在尽其谨严致其精审（2/2）

——普林斯海姆，1898年德国数学家联合会年报

吾终悟：习算所需心力，非因教法之谨严而骤增也。

——普林斯海姆，1898年德国算学会年报

536. 对待一门精确严谨科学的入门内容，唯一正确的方式就是尽可能运用全部的严谨性和精确性。

——达朗贝尔（引自德摩根《三角学与双重代数》）

治精严之学，其始学之道，唯在尽其谨严、致其精审而已。

——达朗贝尔（录于德摩根《三角学与双重代数》）

537. 认为严格证明会破坏简洁性是错误的。相反，大量事例证明：严谨的方法往往同时更简单易懂。追求严谨的过程本身就会迫使我们寻找更简洁的证明方法。

——希尔伯特，《数学问题》

世或谓严证碍于简明，此见非也。观诸往例，严谨之法，往往更显简易。盖求索严谨之时，必自驱而觅简证之途，此理昭然。

——希尔伯特，《算学问对》

538. 几乎没人能否认，即便是数学的启蒙教学，最严谨的方法也应该优于其他所有方式。每位教师当然都会选择逻辑自洽的证明，而非基于谬误或循环论证的推导——事实上，教师若故意使用后者来变相欺骗学生，这在道德上也是不可想象的。然而令人不安的是，这类有问题的伪证明至今仍充斥于我们的教科书。或许有人辩解说严格证明超出了学生的理解力——如果真出现这种情况（这只能说明整体教学规划存在缺陷），唯一补救办法就是坦率地告知学生：这个定理目前还没有你能理解的证明，以历史陈述的方式呈现。这种不得已的手段虽不理想，但总比用不是证明的证明来糊弄学生要好——后者要么让学生完全无法理解，要么用虚假的知识表象助长浅薄学风和反科学思维。

——格拉斯曼，《算术教科书选段》

算学启蒙，严谨为上，此理至明，鲜有异议。师者传道，必择正途之证，弃虚妄循环之说。若以伪证欺蒙学子，实乃悖德之行，人神共愤。然今之典籍，伪证犹存。或辩曰：严证难为初学者解。然此非证之过，实教法之失也。若遇此境，当直言相告：“此理深邃，非汝今所能悟。”述其源流，虽非善策，犹胜以伪乱真。盖伪证之害，轻则惑人耳目，重则滋长虚妄，背离格物之道。

——格拉斯曼，《算术教科书节录》

539. 英国数学教材作者通常给人这样的印象：他们仿佛与读者达成了一项协议——要将真理、大部分真理且唯有真理呈现在读者面前；并且认为只要把学科知识写入书中，即便这些知识晦涩难寻，也算履行了对读者的承诺。但这种观点大错特错，因为有效的教学远不止于罗列事实，即便这些事实按逻辑顺序排列（而英国教材往往并非如此）。学生可能遇到的难点、聪慧的学生自然会对某些事实或理论提出的质疑——这些作者很少甚至从未提及，然而若作者能预见并阐释这些内容，对学生而言往往价值连城。此外，数学着作中融入一丝幽默（这看似奇怪）不仅恰当，还大有助益；甚至从萨尔蒙的纯数学着作和麦克斯韦的物理学着作中，都能找到这样的例证。

——G..明钦

节选自《佩里的数学教学法》（伦敦，1902），第59-61页

英伦算学着者，多予人以如是观：若与读者立契，誓以真传，尽陈其理，无有虚妄；且谓书中载道，纵幽隐难觅，亦足践约。然此见大谬！盖善教之道，非徒胪陈事理，即令条贯秩如（英伦典籍，鲜能及此），犹未足也。学者将遇之困、智者必发之疑，着者罕有措意。若能预察而剖释，则于学子，价逾拱璧。再者，算学之书，偶寄诙谐（此言或奇），非但无妨大雅，反能启迪后学。观萨尔蒙之纯数、麦克斯韦之格物，皆有其例。

——G..明钦

录自《佩里算学教授法》（伦敦，1902），第五十九至六十一页

540. 请记住，即兴演讲的要诀在于：讲稿备好后，演讲前需让思维完全脱离主题一段时间；思想会在不知不觉中酝酿，形成新的组合；但倘若直到演讲前还在持续思考主题，思想便不会酝酿，反而会陷入迟钝。

——奥古斯塔斯·德摩根

致哈密顿的信；节选自格雷夫斯《威廉·R·哈密顿生平》（纽约，1882-1889），第3卷，第487页

谨记：欲擅即席讲论之术，当于讲稿既成后，暂释其题，澄心息虑。如此，则灵思暗运，自化新机；若临讲犹殚精竭虑，非但难生妙悟，反致神昏智钝矣。

——奥古斯塔斯·德摩根

书札寄哈密顿；录自格雷夫斯《哈密顿传》（纽约，1882 - 1889），卷三，第四百八十七页