第64章 晚自习上的小范围讨论：凌凡首次讲解题目（1/2）

冬日的夜晚来得格外早，晚自习的铃声响起时，窗外已是漆黑一片，只有教室里的日光灯投下冰冷而明亮的光晕，将伏案的身影拉长又重叠。空气里弥漫着纸张、墨水和一种名为“奋斗”的沉闷气息。

凌凡正深陷于他的“灵感”后续。凭借着“半角公式”那神来之笔的化简，M、N坐标已变得异常简洁：M(4, 3√3 k)， N(-4, 3√3 / k)， 其中k = tan(θ/2)。他正在推导直线MN的方程，草稿纸上密密麻麻却条理清晰地排列着计算步骤。

就在他即将求出直线方程的一般式时，一个略带犹豫和烦躁的声音在他斜前方响起。

“唉……这题也太绕了吧？完全没思路啊！”

是赵鹏。他正用力地挠着头，几乎要把那本就稀疏的头发挠秃，面前的数学练习册上，一道题目被他用笔戳了无数个点，仿佛要用物理方式戳出个答案来。那题目恰好也是一道解析几何题，涉及抛物线和直线交点，证明某个角度关系。

凌凡下意识地瞥了一眼，脑子还沉浸在椭圆和正切函数里，一时没转换过来。

赵鹏唉声叹气了半天，左右看了看，目光最终落在了后排，落在了那个最近屡次被老师点名、甚至解出了思考题的凌凡身上。他像是抓住了最后一根救命稻草，压低声音，隔着过道喊了一声：“凡哥？凡哥！睡了没？救命啊！”

凌凡被从数学世界里拽出来，愣了一下，看向赵鹏那哭丧着的脸：“怎么了？”

“这题，这题！”赵鹏像递求救信一样把自己的练习册推过过道，手指点着那道让他崩溃的题，“完全没头绪，答案就写个‘略’，略他个鬼啊！你看得懂不？”

凌凡接过练习册。那是一道关于抛物线y2=4x的题，一条动直线过定点(1,0)与抛物线相交于A、B两点，求证∠AOB恒为直角（O为原点）。

如果是以前的凌凡，看到“抛物线”、“动直线”、“恒为直角”这些词，大概率会和赵鹏一样头大，然后直接放弃。但此刻，他刚刚经历了对椭圆压轴题的“拆解”和“灵感化简”，大脑正处于一种高度活跃的“解析模式”。

他几乎是条件反射般地启动了“拆解”流程：

1. 目标：证明∠AOB = 90°。

2. 如何证90°？→ 想到向量点积为0，或者斜率乘积为-1（但需考虑斜率不存在情况），或者几何中的勾股定理。他优先选择向量法，因为坐标化后计算往往更直接。

3. 需要什么？→ 需要点A、B的坐标。

4. 如何求A、B坐标？→ 是直线与抛物线的交点。需要先求出直线方程。

5. 直线已知？→ 动直线过定点(1,0)，但斜率未知。需设直线方程。

一条清晰的思路链瞬间在他脑中形成！这感觉，就像他刚刚在自己的战场上清理出一条通路，现在看到旁边战友卡在类似的障碍前，他几乎能一眼看出那条被隐藏的路径。

他的心跳微微加速，不是因为紧张，而是因为一种……分享和验证的冲动？他看了看赵鹏那充满渴望和怀疑的小眼睛，又看了看自己草稿纸上那即将完成的椭圆题。

“我试试看。”凌凡的声音比平时沉稳了一些。他拿起笔，在赵鹏的草稿纸空白处写起来。

“你看，”他一边写一边低声讲解，声音控制在只有他们两三人才听得见的范围，“这种动直线过定点的，一般先设直线方程。”

他写下：“设直线AB方程”：过点(1,0)，设斜率为k，则方程为 y = k(x - 1)

赵鹏似懂非懂地点点头：“嗯嗯，然后呢？”他没想到凌凡真的立刻就有了方向。

“然后，求交点A、B啊，联立直线和抛物线方程。”凌凡继续写。 “联立”：y = k(x-1) 与 y2 = 4x 代入：[k(x-1)]2 = 4x → k2(x2 - 2x +1) = 4x → k2x2 - 2k2x + k2 - 4x = 0 整理：k2x2 - (2k2+4)x + k2 = 0 （这是一个关于x的二次方程）

“这个方程的两个根x1, x2，就是A、B两点的横坐标。”凌凡点着这个二次方程。

“哦——”赵鹏拖长了声音，眼睛亮了一点，似乎跟上了一点节奏。

“接下来，”凌凡关键的一步来了，“你不是要证∠AOB是90°吗？O是原点，那向量OA和OB点积为0就行。” 他写下：“需证”：向量OA· 向量OB = 0 即：x1x2 + y1y2= 0

“现在，我们需要用我们设的参数k，来表示x1x2 和 y1y2。”凌凡的思路极其清晰，“根据韦达定理，对于刚才那个二次方程……” 他写下：x1+ x2 = (2k2+4) / k2 x1 * x2 = (k2) / k2 = 1 （二次方程常数项除以二次项系数）

“哇！x1*x2直接就是1？！”赵鹏惊讶地叫出了声，立刻又捂住嘴，紧张地看了看四周，还好没人注意。这个神奇的结果让他精神大振。

“对，你看，直接算出来了，是1，跟k没关系。”凌凡也笑了笑，这种代数运算展现出的简洁美，总是让人愉悦。“接下来算y1*y2。”

“y1和y2是直线上的点，所以 y1 = k(x1-1), y2 = k(x2-1)” 所以 y1*y2= k2 (x1-1)(x2-1) = k2 [ x1*x2 - (x1+x2) + 1 ]

“这里面的x1x2我们知道是1，x1+x2刚才韦达定理也有。”凌凡一边说一边代入： y1y2 = k2 [ 1 - ( (2k2+4)/k2 ) + 1 ] = k2 [ 2 - (2k2+4)/k2 ] =k2 * [ (2k2 - 2k2 - 4) / k2 ] // 通分 =k2 * [ (-4) / k2 ] =-4

“卧槽！”赵鹏这次没忍住，一句惊叹脱口而出，引来前排几个同学回头观望。他赶紧缩了缩脖子，脸上满是难以置信的兴奋，“又算出来了？！是-4？！也是常数？！”

“对，也是常数。”凌凡保持着冷静，“现在，向量点积 x1x2 + y1y2 = 1 + (-4) = -3 ≠ 0啊？”

“啊？不等于0？那不是白搞了？”赵鹏一下子又蔫了，像是被戳破的气球。

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