第45章 一道平面几何题的五种解法探索（2/2）

战役四：坐标法（降维打击，无脑计算） 思路：这是他的“杀手锏”，也是他最近自学向量和坐标几何后想尝试的方法。把几何问题代数化！ 他立刻建立平面直角坐标系： 以B点为原点(0,0)，BC边放在x轴上，C点就在(3x,0) （因为设DC=x, BD=2x, BC=3x）。 现在需要确定A点坐标。因为AB=AC，且∠A=120°。 嗯？！不对！点积不为零！ 凌凡心里一惊，差点以为自己的筑基工程白费了。但他迅速冷静检查。 发现错误：定比分点公式用错了！BD:DC = 2:1，意思是B-＞D-＞C……。 正确公式……这个没错。 那是哪里错了？啊！垂直的判断错了！ 要证AD⊥BC，应该是AD向量· BC向量 = 0。 而……确实不为零！ 凌凡懵了。难道题目是错的？不可能啊。 他再次审视题目和图形。突然，他猛地一拍脑袋！ “蠢货！AD⊥BC，垂足是D吗？！我默认了D是垂足，然后用坐标法去证，这本身就是循环论证啊！我要证的是AD⊥BC，垂足未必是D啊！我应该设垂足为H，然后证H和D重合！” 坐标法的正确思路：是先求出BC的方程（y=0），然后求A到BC的垂足H的坐标，再证明H和D是同一个点！ BC是x轴，A(1.5x,(√3 / 2)x)到x轴的垂足H坐标显然是(1.5x, 0)。 而D点坐标是(2x,0)！ 1.5x≠ 2x ！ 所以AD根本不垂直于BC？! 题目是错的？! 凌凡彻底凌乱了。他感觉自己发现了一个惊天大秘密。

（就在他几乎要推翻题目时，战役五的思维悄然启动）

战役五：三角函数法（另辟蹊径） 思路：既然有角度和边长关系，或许可以用正弦定理或余弦定理在△ABD和△ADC中计算∠ADB或∠ADC的余弦值，看是否为0（90°）。 在△ABD中： 已知：AB= a (设), ∠ABD = 30° (因为等腰三角形底角)，BD = 2x (设DC=x)。 需要AD？或∠BAD？ 由正弦定理：AB/ s∠ADB = BD / s∠BAD = AD / s30° 信息不足。 在△ADC中类似。 或许…可以考虑∠ADB和∠ADC互补？因为B,D,C共线……两者并不相等？但s30°是定值，这要求BD/AB = DC/AC，即BD/DC = AB/AC = 1，但这与BD=2DC矛盾！ ！！！ 真相大白！

凌凡看着这最终推导，目瞪口呆。

这道题……根本就是错的！ 或者更准确地说，在AB=AC且∠A=120°的前提下，如果BD=2DC，那么AD绝不可能垂直于BC！

他之前的五种解法探索，前三种的受阻和第四种坐标法计算出的矛盾，并非因为他笨或方法错，而是因为题目本身的条件就是矛盾的！第五种三角函数法从逻辑上直接证明了其不可能性。

一场轰轰烈烈的五法探索，最终竟得出这样一个戏剧性的结果！

凌凡没有感到沮丧，反而有一种前所未有的狂喜和成就感！

他依靠自己的思考和多角度的探索，发现并证明了一道题目的错误！ 这比简单地做对十道题，更让他感到振奋！ 这证明了他的思维变得严谨、多角度、具有批判性了！

他兴奋地拿出错题本，没有用五步法，而是专门开辟了一页，标题为：“探索发现：一道错题的五条证伪之路”

他详细记录了五种方法的尝试过程，重点突出了坐标法和三角函数法如何一步步揭示题目的矛盾。他写道：

· 收获1： 不要盲目相信题目，数学需要严谨的逻辑和验证。

· 收获2： 多角度探索解法，即使失败，也能相互印证，逼近真相。

· 收获3： 坐标法是强大的工具，但要注意使用前提（我差点循环论证）。

· 收获4： 基础知识（如余弦定理、定比分点、三角函数）在综合应用时威力巨大。

· 最大收获： 思维的乐趣不在于接受答案，而在于探索和发现的过程本身，哪怕发现的是错误。

合上错题本，凌凡心潮澎湃。 这次探索，无疑是他“数学筑基工程”中的一个意外转折和高光时刻。 他不仅是在夯实基础，更是在锻造一种属于他自己的、主动的、批判的、充满探索精神的数学思维方式。

逻辑之门的叩击声，或许并不总是清脆的“咚咚”声。 有时，它是一声沉重的闷响， 告诉你此路不通。 但正是这声闷响， 让你对“通”的方向， 有了更深刻的理解。

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(逆袭笔记·第四十五章心得：不要满足于解出一道题。尝试用多种方法（代数、几何、坐标、向量等）解决同一道题，是锻炼思维、融会贯通、加深理解的顶级策略。这个过程可能很耗时，可能大部分尝试会失败，但每一种尝试都在激活你不同的知识模块，让你从不同角度审视问题。有时，探索的意义甚至大于结果本身——你可能会发现更优解，可能能看透问题的本质，甚至可能发现题目本身的谬误。这种探索精神，是培养数学核心素养的关键。)