第147章 第二十级球体的巨人（2/2）

数学家们拥有许多彼此完全不同的方法，来得出同一个结果——即他们着名的圆周率近似值。在我们这个时代，一位无畏的计算者已将近似值推进到了他们所谓的607位小数：这是由霍顿勒斯的尚克斯先生完成的，而卢瑟福博士已验证了其中的441位。尽管607这个数字看起来很大，但公众对于所达到的精确度只会有一个模糊的概念。我们在查尔斯·奈特的《英国百科全书》中看到过对此事的描述，或许可以说明所获得的精确度是何等难以想象，尽管在理性上可以理解。

假设我们某种微生物的血球直径是百万分之一英寸。在想象中构造一个像我们地球一样的球体，但要大得多，以至于我们的地球在其某种微生物看来只是一个血球：不必在意观察这种生物所需的显微镜会是个相当庞大的仪器。称此为高于我们的第一级球体。让这第一级球体在尺寸上仅仅是一个血球，存在于一个更大球体的微生物中，称此为我们之上的第二级球体。以此类推，直到我们之上的第二十级球体。现在，在另一侧也同样向下延伸。让我们最初开始的那个血球成为一个居住着类似我们但体型更小的动物的球体：{110} 称此为我们之下的第一级球体。从这个球体中取一个血球，使其居住着生物，称此为我们之下的第二级球体：如此类推，直到我们之下的第二十级球体。这是一个向两端延伸的巨大跨度。现在，给我们之上第二十级球体的巨人那607位小数的圆周率，当他以与其体型相称的精度测量了他的球体直径后，让他根据这607位小数计算其赤道的周长。然后，从我们之下第二十级球体请来那位小哲学家，带着他最好的显微镜，让他去观察巨人必然会产生的微小误差。他将无法成功，除非他的显微镜相对于他的体型而言，比我们的显微镜相对于我们的体型要好得多。

现在，任何想嘲笑这种近似值之精确度的人必须记住，数学家通常能逼近得更接近；事实上，他的定理通常完全没有误差。那个被前面描述弄得晕头转向的人，可能很容易忘记，如果完全没有误差，即使是我们之下第一百万级球体的小人国居民，也无法在我们之上第一百万级球体的大人国居民的计算中找到任何瑕疵。一个形状绝对精确的三角形的三个角，绝对等于两个直角；无论将这种延伸推到多远，也检测不到任何误差。

现在想想拉科姆先生的数学顾问（见前文，第一卷，第46页），他竟然觉得难以就一个圆形地板所需铺石料的量给一位石匠提供建议！

我们现在为不擅长计算的读者用另一种方式来说明这个问题。我们看到，一位化圆为方者可以极其自信地断言，当直径为1,000时，周长精确为3,125：而数学家则宣称它比3,141?略多一点。如果化圆为方者是对的，那么数学家的误差就占了整体的约1\/200；或者说，他的账目在每100英镑中大约有10先令对不上。当然，如果他以这样的误差起步，他将会错上加错。现在，如果有一个过程{111}需要精确的圆的知识，那就是预测月亮在给定日期的位置——比如，越过格林尼治子午线的时刻。我们无法给出细节复杂性的哪怕最粗略的概念：但常识会告诉我们，如果一个数学家绕圆一周都会产生相对于股票经纪人佣金四倍大的误差，那么他试图预测月亮过中天的时间必定会错得离谱。那么，事实如何呢？他的误差小于一秒钟，而月亮绕行一周需要27天多。这就是说，尽管他在圆周计算上起步时每100英镑就有10先令的误差，但在预测月亮过中天时，他达到了每100英镑误差不到五分之一法寻的精度。现在我们不禁认为，尽管数学科学所受的尊重不小，但还不足以让这种说法被人接受。这种尊重是基于一种观念，即正确的结果源于正确的方法：人们很难相信，从错了几先令的数据出发，最终能得到精确到几法寻的真理。即使是爱丁堡那位着名的汉密尔顿——他认为数学中不存在出错的方法——也深信这是因为错误从一开始就被避免了。他从未说过一个起步就错的数学家不知何故最终必定会得出正确的结果。

一个具备常识的思考者，在应对那些他未曾进行过专业研究的课题时，总会面临一个难题。他必须对神学、政治、法律、医学和社会等事务形成自己的看法。如果他下定决心选择一位向导，那自然就没有困惑了：但在所有提到的这些领域，路标指向各不相同。那么，他为什么不能对一个抽象的数学问题形成自己的见解呢？为什么不能断定，关于圆的问题，詹姆斯·史密斯先生可能就是那个天选之人，就像亚当·史密斯是当时未来事物的先知，或者路德、伽利略是他们时代的先驱一样呢？

诚然，数学家在观点上的一致性，是其他任何群体都无法比拟的：但这仅仅意味着他们全体出错的可能性在程度上有所不同。而且更重要的是，在我们当中，不是普遍认为祭司和医生们错得最离谱的时候，恰恰正是他们看起来最团结一致的时候吗？

对于上述问题，我们看不到其他答案，唯有这一点：一旦个体研究者能使自己在数学领域达到与他在神学或医学领域同等的认知水平，他就可以像判断神学或医学问题一样，理性地自行判定一个数学问题。日常生活的思考和阅读，与学术领域所要求的思考和阅读有某种相似之处。在研究一个医学问题时所用的探究、证据权衡和概率评估，就其性质而言，与一个商人用来对市场做出结论的方法密切相关，尽管应用的具体内容不同。但是，数学家们有他们自己的一套方法，无论是结果的性质还是结论的特征，都与日常生活中的任何事物没有紧密的类比。数学的逻辑固然是常识的逻辑：但其数据的种类不同；它们不容置疑。一个像J.史密斯先生这样的算术专家，可能会幻想仅仅计算本身就是数学：但他的书的价值——从这个角度看价值不小——在于它充分展示了一个经验丰富的算术家，一旦冒险踏入数学证明的领域，可能会表现得完全缺乏那些将推理几何研究者与计算者区分开来的所有特质。

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此外，应该记住，在数学中，验证结果的能力远远超过在其他任何领域中所能找到的能力；而且，达成同一结果的不同方法也多种多样。由此可知，一个希望尽可能接近真理的人，不会认为数学证明的结果像其他类型的结果那样，可以任由他评判。如果他感到必须做出决断，那也无妨：如果这能让他高兴，他的圆周率大可以是直径的3又1\/8倍。但我们必须警告他，为了得到这个圆，他必须像詹姆斯·史密斯先生那样，在家里自己动手造一个：空间和思维的法则只能恭敬地谢绝这份订单。