第43章 符号之妙，在于化易为难（1/2）
=1210.=为什么只有数学家才能评判数学家？最主要的原因是他们使用一种特殊的语言。数学的语言很独特，而且无法翻译。在最简单的形式下，它还能翻译，比如我们说“直角”来表示“方形的角落”。但一旦涉及更高深的数学领域，就必须使用这种特殊语言了。就算是墨丘利（掌管语言的神）本人，也没法给不懂数学的人解释“函数指数”这个短语是什么意思。要是想解释像哈密顿的《四元数》那样的整篇论文，让别人能评判它的价值，那就更不可能了！不过对于懂这种语言的人来说，它是所有表达方式中最精确、最清晰的。它能完全按照作者的构思来展现思想，形式上或许有美丑之分，但绝不会模糊不清。这种语言可能像法国作者的作品那样冗长，也可能像英国剑桥大学的学者那样沉迷于符号变形，或者像我们美国剑桥的几何学家那样采用最简洁清晰的形式，但不管怎样，它总能准确地展现作者的思想。
——托马斯·希尔
《北美评论》，第85卷，第224-225页
夫唯算家能评算家者，以其独擅专门之语也。算学之语，特异于常，不可译也。至若简易之辞，或可转译，如以“直角”释“方隅”。然涉高深之域，则非此语莫办。纵使墨神（注：墨丘利，司语言之神）亲至，亦难向门外汉解“函数指数”之谓，况欲阐哈密顿《四元数》之宏旨，令世人辨其价值，不啻缘木求鱼！然于通其语者，此乃至精至明之表述。其能尽展作者所思，或繁或简，皆无晦义。法儒之述，多显冗沓；英之剑桥学者，好为符号变易；而美之剑桥（注：此处疑指美国剑桥）几何诸家，则尚简净。然无论何体，皆可直透作者本心。
——托马斯·希尔
《北美评论》，第八十五卷，第224 - 225页
=1211.=分析语言的应用范围确实比较有限，但在这个范围内，它比日常语言优秀太多了：日常语言想跟上分析语言的思路，往往走不了几步就会被甩开。懂得用这种高度凝练的语言思考的数学家，和只会机械计算的人相比，简直有天壤之别。
——A. 普林斯海姆
《德国数学家协会年度报告》，第13卷，第367页
分析之语，所涉之域虽狭，然其精能远超常言。常言欲效其能，未几而穷。深谙此凝练之语者，与机械运算之辈相较，不啻云泥。
——A. 普林斯海姆
《德意志算学会年报》，第十三卷，第367页
=1212.=系统的符号推理得出的结果，从本质上来说一定表达的是普遍真理，而且这些结果的正确性，并不要求推理过程的每一步都代表着对“量”的某种具体运算。“符号解释具有绝对普遍性”，这是使用符号的根本原则。
——威廉·惠威尔
《归纳科学的哲学》，第一部分，第二卷，第12章，第2节（伦敦，1858年）
夫系统符号推演之所得，必为普世之理。其成立与否，非必令推演各步皆对应量之实算。“符号阐释之绝对普适性”，此乃用符之本也。
——威廉·惠威尔
《归纳科学之哲学》，第一部，第二卷，第十二章，第二节（伦敦，1858年）
=1213.=只要懂代数符号，看一眼方程就能知道结果；但如果用算术方法来算，就得费很大的力气才能得到同样的结果。
——A. 库诺
《财富理论》[N. t. 培根译]（纽约，1897年），第4页
谙代数符号者，瞥目方程即知其果；若以算术求之，则费力矣。
——A. 库诺
《财富论》[N. t. 培根译]（纽约，1897年），第4页
=1214.=算术和代数是非常清晰、确定且内容广泛的科学，它们直接和符号打交道，并且完全依赖于对符号的熟练运用。所以，稍微关注一下这些科学，可能会帮助我们判断其他科学中思维的进步情况——虽然其他科学在性质、目的和研究对象上和算术、代数不同，但在证明和探究的一般方法上，可能和它们有相通之处。
——乔治·贝克莱
《阿尔西弗龙或渺小的哲学家》，第七对话，第12节
算术、代数之学，至明至确，其用至广。二者皆倚重符号，全赖善用之巧。故观此二学，或可鉴他学中思维之进。他学虽性、旨、对象各异，然于论证、探究之大法，或有相通。
——乔治·贝克莱
《阿尔西弗龙，或渺小哲人》，第七辩，第十二节
=1215.= 一般来说，所有这类新算法都有这样的特点：用它们能解决的问题，不用它们也能解决。不过，它们的优势在于：如果一种算法符合人们频繁出现的需求的本质，那么只要彻底掌握了它，就算没有谁能轻易拥有的天才灵感，也能解决相应的问题，甚至在复杂的情况下可以机械地解决问题——要是没有这种算法的帮助，就算是天才也会束手无策。像一般代数、微积分的发明，还有拉格朗日的变分法、我（高斯）的同余算法，以及莫比乌斯的算法，在各自的领域里都是这样。这些概念就像把无数原本孤立的问题连成了一个有机的整体，要是单独解决这些问题，或多或少都需要用到创造性的天才思维。
——c. F. 高斯
《着作集》，第8卷，第298页
大凡新创之算法，其理皆然：不用之能解者，用之亦能解。然其利在于：若算法契合常需之本，精熟者无需天赋灵机，即可破题；即遇繁复之状，亦可循规而解。若无此助，虽天才亦难措手。如代数通法、微积分，以及拉格朗日变分术、吾之同余术、莫比乌斯之法，皆属此类。此等创见，汇孤立之题成有机之体，若逐一破解，则非借灵思妙想不可。
——c. F. 高斯《高斯全集》，第八卷，第298页
=1216.=我们所说的“基本符号”的发明，很少依靠类比，这显然是因为可供有效比较的概念范围太小了。但同时，我们还是应该注意类比，就算没有别的原因，至少也能让符号的发明成为一门学问，这样就不会有人随意创造符号了。发明符号是很容易的事，但用没人知道的符号来混淆数学表达，这种例子带来的后果是最坏的。如果确实需要引入新符号（不管是长期还是暂时使用），除非能证明它是对现有符号的合理扩展，否则就应该让它带有和现有符号不同的特征。
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