第12章 未谙几何者，勿入斯门（2/2）

413. 形而上学的哲学家从自身视角出发，将数学视为一种教育工具——它能增强专注力，培养秩序感和建构能力，并让心智通过简洁公式把握物理现象的量化差异。——乔伊特，《柏拉图对话集》（纽约，1897年），第2卷，第78页。

玄理之儒，以数学为教化利器。谓其能聚精会神，养条理之思、构制之能，且使心智循简式而察物理之量差。——乔伊特，《柏拉图对话集》（纽约，1897年），第2卷，第78页

414. 我也找不到任何其他学科能像数学这样普遍地提供需要持续严谨思考的素材。形而上学的问题或许更难，但它们远不够明确，且很少能得出确切结论，我们因此丧失了检验自身思维过程的能力，无法分辨自己究竟是在理性思考，还是仅仅在幻想空谈。——托德亨特，《学科的冲突》（伦敦，1873年），第13页。

诸学之中，未有若数学之能遍供精思之材者。玄理之问，虽或深邃，然多浑沦难明，鲜得确论。学者既无由验其思之正误，安辨己之思索，果合于理，抑或徒为空谈耶？——托德亨特，《学科冲突》（伦敦，1873年），第13页

415. 数学另一项显着优点是它要求自觉的刻苦努力。一个人绝不可能因为幸运地被送到好学校就自然成为优秀数学家；学校教育或许能打下基础和起点，但唯有依靠个人努力才能达到卓越高度。——托德亨特，《学科的冲突》（伦敦，1873年），第2页。

数学之又一善者，在其必资笃行之力。人非幸入名校，便可成数学之良才。学府虽可筑基，然欲臻精妙之境，非赖个人勤勉不可得也。——托德亨特，《学科冲突》（伦敦，1873年），第2页

416. 解析能力很可能通过数学研究得到极大强化，尤其是被不公正地单纯因其逆向运算而冠以分析学之名的数学分支。——爱伦·坡，《莫格街凶杀案》。

析理之能，最宜藉数学而强，尤在世人所谓“分析学”者。彼虽以逆算得名，然其于思辨之益，实不可小觑。——爱伦·坡，《莫格街凶杀案》

417. 愿意投入时间与才能探究数学真理的人，在面对其他问题时将获得压倒对手的优势。他们在论辩中的姿态，会像古罗马人在战场上的姿态：战斗之日反而如同休憩，因为他们平日训练所用的兵器远比实战更沉重；演习与真实战役的差异仅在于两点：他们承受更多疲惫，但胜利无需流血。——科尔顿，《箴言集》（纽约，1866年）。

肯以时力钻研数学之真者，他日临他事，必胜侪辈。其论辩之姿，犹古罗马之士临战：当其对阵，反若休憩。盖平日操演之器，重于实战；所异者二：一则备尝劳苦，二则兵不血刃而奏凯也。——科尔顿，《箴言集》（纽约，1866年）

418. 数学是西点军校课程体系的基础学科。这对培养军事行动所需的兼具力量与敏捷的特质——那种独特的思维韧性与快速判断力不可或缺，同时也为更高阶军事科学的学习铺平道路。——美国国会军事事务委员会（1834年）；《美国教育署公报》1912年第2期，第10页。

数学者，西点军校课业之本也。欲养军旅所需刚柔并济之质，锻思辨之韧、决机之敏，非此不可。且可为研习高深兵略之津梁。——美国国会军事事务委员会（1834年）；《美国教育署公报》1912年第2期，第10页

419. 在所有学校科目中，数学尤其适合培养表达上的清晰性、简洁性和精确性，尽管它不提供修辞藻饰的训练。这首先归功于其发展思维的逻辑严密性：始终坚持最短最直接的路径，杜绝任何空泛表述。其他学科在不同层面促进表达能力：外语翻译母语锻炼词汇对应与句法规则，诗文研习提供连贯表达与优雅形式的范例，作文训练个人思想的组织与展开，自然科学教授基于感官知觉描述物体、装置、过程及阐述规律。但这些母语训练手段——各有其价值且必不可少——都无法像数学训练那样确保剔除概念模糊的词语。在表达精确性方面，它们都无法等同满足数学家的严苛要求。——莱特，《高等数学教学指导》（柏林，1906年），第17页。

庠序诸科，唯数学最善炼辞之明、简、精，虽无修辞藻饰之训，然其逻辑谨严，循直道而弃浮言，故有此效。他学亦各益于文：译语可习辞藻对应、句法之规；诗赋能示行文之雅；作文可练思绪之序；格物可教状物明理之法。然皆不及数学能尽祛语义含混之弊，亦难副数学家于精确之苛求也。——莱特，《高等数学教学指导》（柏林，1906年），第17页

420. 人们很少听说数学背诵可以作为公开演讲的准备。然而，数学与这些学科（外语、绘画和自然科学）一样具有优势，而且在某些方面比它们更具优势。

大多数读者都会认同，公开演讲获得良好效果的一个首要条件是，演讲者和听众的注意力都能完全从演讲者身上转移开，集中在演讲内容上。在其他课堂上，或许很难做到这一点，但在数学课堂却相对容易。严密的推理、严格的论证，以及从给定假设中推导必然结论的过程，能够吸引并牢牢抓住正在讲解的学生及其同学的全部注意力。在其他什么情况下，学生会如此本能地意识到，演讲的形式无足轻重，而思想内容才至关重要呢？因此，在其他什么情况下，能够如此自然且有益地培养出简洁、自然、从容、优雅的演讲风格呢？那些纯粹矫揉造作或因不良文学习惯产生的演讲怪癖会退居次要地位，最终消失不见，而那些体现个人特质且与个人思维活动密不可分的特点则会不断发展。当学生经常向与自己智力相当的听众阐述一连串连贯的推理时……

人们几乎希望我们的演讲艺术与科学机构能在大门上刻上柏拉图哲学学院入口处的那句箴言：“不懂几何者勿入。” ——w.F. 怀特《小学数学资料集》（芝加哥，1908年），第210页

世人鲜闻以数学讽诵为演说之基者。然数学之益，与西学（译语、绘事、格物）相埒，且犹有过之。

善演者，必先使讲、听之众忘其形骸，唯思是注，此乃至要。诸般课堂，莫若算学之易为此道。盖其理密、其证严，自设题而推其果，环环相扣，能摄讲者、听者之神魄，令其专致。他学之中，安能使学子悟“辞藻虚诞，义理为实”之理？安能养其简净自然、从容雅正之态？故矫饰之习、粗陋之弊，渐次消弭；而性灵之真、思致之妙，日益彰显。若学子常于侪辈间，陈演精审之论，其效更着。

尝愿今世演说之庠，能效柏拉图立训于学院：“未谙几何者，勿入斯门。”——w.F.怀特《小学数学资料集》（芝加哥，1908年），第210页