第5章 演绎为宗（2/2）
228. 数学的精确性，不恰恰就在于它自身的精确吗？这难道不是对真理的内在意识所产生的结果吗？——歌德《散文格言·自然》第6卷948条
数学之精，非其精自为精耶？此岂非公理内蕴、灵府昭然之果欤？——歌德《卮言·自然》卷六第九百四十八
229. 数学知识区别于其他知识的三大特征可简述如下：其一，数学在所有结果上比其他知识更显着地带有真理印记；其二，它始终是获取其他正确知识的可靠前提；其三，它无需依赖其他知识。——舒伯特《数学论文集与娱乐》（芝加哥1898）第35页
数学异于他学者三：一曰诸果皆彰真理之印尤着；二曰恒为得他确知之阶；三曰不假他学。——舒伯特《算学论丛》（芝加哥1898）页三五
230. 现在需要更明确地指出：为何数学不仅自身具有说服力，还能将这种说服力传递到其应用对象？原因首先在于基础数学概念被完美精确地定义——在这方面，每门学科都必须自力更生......但这并非全部。当人类思维尝试长推理链或处理复杂问题时，不仅会产生错误风险，更会引发对潜在错误的怀疑，因为无法同时清晰审视所有细节，最终只能相信没有遗漏任何环节。即便在最基础的算术运用中也是如此。没人会认为高等数学在这方面更优越；相反，在更复杂的推理中，不确定性和对隐藏错误的怀疑会迅速增加。数学如何摆脱这种如影随形的困扰？通过更严密的证明？通过制定应用旧规则的新规则？全然不是。每次单独运算的结果仍存在很大不确定性。但存在验证机制。在数学领域，每个结论都可通过百种不同途径抵达；当百川归海时，便能确信抵达了正确彼岸。未经检验的计算如同未计算。任何思辨科学中的孤立证明同样如此——无论证明多么精巧完美，都难以持久服人。因此，若有人希望在形而上学或依赖形而上学的心理学中，仅靠精确定义概念和逻辑推理就能获得确信（更遑论使他人信服），必将大失所望。不仅需要结论相互支撑而无强迫或偷换之嫌，对于源自经验或判断经验的议题，思辨结果还必须通过经验验证——不仅是表面验证，更要历经无数特例的考验。——赫尔巴特《着作集》第五卷（朗根萨尔察1890）第105页
今当明辨：数学之信，何以自生而能及于应用？盖其本在基理精严，界说确凿，此固诸学当效而自为者……然未尽焉。人心运思，若涉长算，或理繁题，非但有误谬之患，且生疑虑。盖众端难兼察，唯冀无失，即至简之筹算，犹然如此。高等数学，未得独免；反于深微推证，疑窦丛生，错漏愈隐。数学何以释此忧？非恃密证，非立新章。盖单算之果，犹存未明。然其善在有核验之法：一理可从百途而致，若万流归墟，则知所诣非妄。未验之算，与无算同；孤证之论，纵极工巧，终难久服。故欲于形而上之学，及倚此而立之心理诸论，仅恃界说精严、推证绵密，欲求自信而信人，必徒劳无功。理当使众说相维，无矫饰穿凿之弊；若涉经验之域，则所思所得，必征诸实事。非仅浅尝辄止，更须历遍千般，方能确然可信也。——赫尔巴特《文集》卷五（朗根萨尔察1890）页一〇五
231. [数学中]我们目睹人类意识逻辑活动最纯粹完美的形态。在此我们认识到这个过程的艰辛本质，必须付出的巨大谨慎，确定普遍命题精确范围所需的准确性，以及形成和理解抽象概念的困难；但在此我们也学会信赖这种智力活动的确定性、广延性和丰硕成果。——亥姆霍兹《自然科学与整体科学的关系》《演讲集》第一卷（1896）第176页
于数学之域，可见人类心智逻辑运化，至纯至善之态。其间可悟此道之艰：审慎之至，毫厘必究；界说命题，务求精准；构解玄理，殊非易事。然亦由此深悉，此心智之用，确凿无妄，广袤无垠，且能开物成务，硕果累累。
——亥姆霍兹《自然科学与整体科学之关系》，载《演讲集》第一卷（1896），第一百七十六页
232. 诚然，数学因其全部内容皆由少数普遍理解的原理通过纯粹逻辑演绎构建而成，被称为自明之理的科学实不为过。然而经验表明，对多数受过教育者（甚至科学家）而言，数学仍是不可理解的科学。——普林斯海姆《论数学的价值与所谓无价值》，《德国数学家联合会年报》（1904），第357页
数学诚以全数内容皆自少数共喻之理，依纯逻辑推演而成，谓之之学固宜。然历验所示，于多数学者（虽科学家亦然），数学终为不可解之学。——普林斯海姆《论算学之价与所谓无价》，《德国算学会年报》（1904），页三五七
233. 数学推理的演绎性体现在：它基于定义，只要（不考虑存在性）满足自洽性检验，其有效性即可确立。因此，只要被视为纯粹数学，其定义就无需外部验证。——怀特海德《普遍代数》（剑桥1898），前言第vi页
数学推演之性，显于其本乎界说，但求自洽（不论存否），其效即立。故为纯粹数学时，其界不待外验。——怀特海《泛代数》（剑桥1898），序页六
234. 数学家既不依赖证言，也不凭信猜测，而是完全通过论证推理从其定义与公理中演绎一切。事实上，任何基于猜测的建构都不配称为科学，因猜测只能产生见解，绝不能带来真知。——里德《人类智力论集》第一论第三章
数学家不徇众说，不凭臆测，惟自界说公理，以论证推演万物。夫基乎臆测者，不得称学，盖臆可生见，不能生知。——里德《人心智论》首论第三章